• перечисление элементов множества {1,2,3}
• задать множество с помощью характеристического условия (предиката) {x|P(x)}
• с помощью порождающей процедуры

- неупорядоченный набор уникальных элементов

- совокупность объектов произвольной природы, объединённых общим свойством, которые рассматриваются как единое целое

Определение через подмножества:

Множество А называется равным множеству В, если множество А является нестрогим подмножеством В, а множество В является нестрогим подмножеством А.  

Второе определение:

Равные множества — это множества, которые включают в себя одни и те же элементы, то есть являются эквивалентными по отношению друг к другу. 

Бесконечное множество называется счётным, если все его элементы можно пронумеровать натуральными числами.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В.

кортеж из двух элементов.  

упорядоченный набор фиксированной длины.

Два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. 

 Свойство дистрибутивности

  Свойство ассоциативности

Законы поглощения

- всякое подмножество Декартового произведения АхВ.

Гомогенное - множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Гетерогенное - множество упорядоченных пар, принадлежащих декартовому произведению этих множеств.

Композиция отношений

 Композитная степень отношения

Для того, чтобы отношение R позволяло разбить множество X на классы, необходимо и достаточно, чтобы R было отношением эквивалентности.

когда в отношении R на множестве M всякий элемент этого множества находится в отношении R с самим собой.

когда при отношении R на множестве M ни один элемент этого множества не находится в отношении R с самим собой.

когда в отношении R на множестве M ни элемент этого множества не находится в отношении R с не самим собой.

когда в отношении R на множестве M для каждой пары (a, b) элементов этого множества выполнение отношения a R b влечёт выполнение b R a.

когда в отношении R на множестве M для каждой пары (a, b) элементов этого множества выполнение отношения a R b влечёт невыполнение 

b R a.

Свойство антисимметричности

когда в отношении R на множестве M для каждой пары (a, b) элементов (таких, что a != b) этого множества выполнение отношения a R b влечёт невыполнение 

b R a.

когда в отношении R на множестве M для каждого набора (a, b, c) элементов этого множества выполнение отноше- ний  aRb и bRc влечёт выполнение aRc.

когда в отношении R на множестве M для каждого набора (a, b, c) элементов этого множества выполнение отноше- ний  aRb и bRc влечёт невыполнение aRc.

когда в отношении R на множестве M для каждого набора (a, b, c) элементов этого множества выполнение отноше- ний  aRb и aRc влечёт выполнение bRc.

Линейно упорядоченное множество

• в котором для любых двух элементов a и b существует либо aRb либо bRa.
• называется частично упорядоченное множество, все элементы которого попарно сравнимы.

• на котором задано отношение частичного порядка.
• в котором не для любых двух элементов a и b существует либо aRb либо bRa.

Синоним бинарного отношения. Виды:

• One-to-one (инъективное и функциональное)
• One-to-many (инъективное и нефункциональное)
• Many-to-one (неинъективное и функциональное)
• Many-to-many (неинъективное и нефункциональное)

(Функциональное + тотальное отношение). Функция называется тотальной, если для любого x определено значение y.

сюръективная функция (Для любого y существует x)

функция, которая является и сюръективной, и инъективной. (Любому y соответствует только 1 x)